suplik.dts.cz   
23.01.2018 - 04:49:23

Svátek má Zdeněk   


  Brána DTS

Rozcestník
Šuplík
Comenius
Vtipník
Pomůcky DTS


  Šuplík

Výuka
Věda a technika
Čeština
Internet a počítače
Ekologie
Prevence
Adresář prevence
Umění a kultura
E-projekt
Lužice
Edison

16.10.2001 - Věda a technika - PaedDr. Jiří Týř
EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY VELIČINOVÝCH ROVNIC
V článku jsou popsány ekvivalentní úpravy rovnic se zlomky využívající křížové pravidlo a pravidlo výměny. Dále je popsáno využití symetrie rovnosti při zápisu úprav matematických výrazů. V poznámce se článek zmiňuje o důvodech stálého používání vedlejších jednotek času a rovinného úhlu.
Veličinová rovnice nebo též fyzikální vzorec je matematický model nějaké fyzikální skutečnosti. Vztahy mezi fyzikálními veličinami v obou stranách veličinové rovnice zapsány jako matematické operace. Veličinová rovnice je účinný prostředek definici nebo popisu fyzikální skutečnosti. Vyjadřuje jednoduše to, co bychom jinak popisovali mnohem obtížněji.

Pro dobré pochopení veličinových rovnic a práci s nimi musí žák nejen ovládat příslušné matematické operace a úpravy rovnic. Žák musí mít osvojený pojem fyzikální veličina a především musí mít také jasno v tom, co veličinová rovnice představuje.

V matematice je podobná rovnice chápána zpravidla jen jako rovnost dvou výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje neznámou. Kořen rovnice je pak jen číslo, které po dosazení za neznámou změní rovnici na obyčejnou rovnost. Ekvivalentní úprava rovnice mění rovnici, ale nemění její kořeny. V teoretické matematice nejsou proměnné a neznámé uvažovány jako fyzikální veličiny. Jinak je tomu ale při řešení praktických slovních úloh pomocí rovnic. Neznámá je v těchto úlohách ve skutečnosti vždy fyzikální veličinou a na to by se nemělo při matematice zapomínat.

Na základní škole uvádíme obvykle tyto základní ekvivalentní úpravy rovnic: S - přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice, O - odečtení čísla od obou stran, N - násobení stran číslem, D - dělení stran nenulovým číslem. Pro zjednodušení práce v matematice i fyzice si však můžeme zavést další dvě ekvivalentní úpravy:

Příklad 1: Ekvivalentní úprava používající křížové pravidlo
Mějme rovnost zlomků a/b = c/d (1)
a chtějme se v ní ekvivalentními úpravami zlomků zbavit:
Provedeme tedy N1: a/b = c/d /.b (2)
a dále provedeme N2: a = bc/d /.d (3)
Výsledkem N1 a N2 je ad = bc (4)

Je výhodné neprovádět úpravy v (2) a (3), zavést si místo toho ekvivalentní úpravu K používající křížové pravidlo. Od té chvíle můžeme vždy rovnici (1) upravit hned na rovnici (4). Slovní interpretace ekvivalentní úpravy používající křížové pravidlo je například:

Rovnici typu rovnost dvou zlomků upravíme na rovnost dvou součinů křížovým přemístěním každého ze jmenovatelů na druhou stranu rovnice.

Způsob používání a výhodnost používání křížového pravidla při ekvivalentních úpravách rovnic je zřejmá z příkladu na obrázku 1. Od rovnice popisující rovnost poměrů mezi silami a rozměry nakloněné roviny můžeme hned přejít na rovnici popisující rovnost práce na nakloněné rovině s prací, kterou konáme bez ní.

Příklad 2: Ekvivalentní úprava používající pravidlo výměny

Z obrázku 1 je rovněž zřejmé odvození pravidla výměny. Používáme ho k osamostatnění jmenovatele v rovnici typu a = b/c. Slovní interpretace ekvivalentní úpravy používající pravidlo výměny je například:

Z rovnice typu a = b/c osamostatníme c vzájemnou výměnou a a c.

Na příkladu uvedeném v obrázku 1 vidíme, jak snadno lze použitím pravidla výměny vyjádřit dobu pohybu z rovnice pro rychlost rovnoměrného pohybu.

Obr. 1 Příklady ekvivalentních úprav rovnic.
Ukázka z tabulky Matematické vzorce.

Rovnost je symetrická relace. Za ekvivalentní úpravu rovnice lze proto při matematice považovat také stranové převrácení rovnice. Někdy je v matematice výhodné nepsat původní a převrácenou rovnici. Namísto psaní převrácené rovnice můžeme číst původní rovnici zprava. Ušetří nám to psaní a místo na papíře.

Z obr. 2 je zřejmý didaktický přínos pohlédnutí na rovnici z obou stran. Spočívá v tom, že je dobře vidět souvislost opačných úprav výrazů, tedy například souvislost násobení součtu a vytýkání.

Obr. 2 Příklady využití symetrie rovnosti při oboustranném čtení.
Ukázka z tabulky Matematické vzorce.

Ve fyzice nelze vždy číst veličinovou rovnici bez obav oběma směry. Například rovnice vyjadřující Ohmův zákon je vztahem mezi příčinami G.U na straně pravé a důsledkem I na straně levé. Je však zajímavým cvičením k prohloubení pochopení zákonů v elektrickém obvodu zkusit interpretovat veličinovou rovnici I = G.U zprava.


Poznámka k mezipředmětovým vztahům M, F a zeměpisu v učivu o úhlech a času

Při probírání učiva o úhlech a času můžeme v matematice i fyzice zpestřit žákům výuku vysvětlením, proč v denní praxi stále setrváváme u vedlejších jednotek hodin a úhlových stupňů. Důvody jsou nejen historické ale také praktické. Naši předkové ocenili, že tucet má víc přirozených dělitelů než číslo deset. Rozdělili proto den na 2 .12 = 24 hodin. Když se dělaly první souřadnicové mapy, použili zde přirozeně stupně. Stupňů je v plném úhlu 30 .12 = 360. Jedné hodině tedy na Glóbu odpovídá pootočení o 15°. Kdybychom chtěli všude důsledně používat radiány, bylo by to v tomto případě nepraktické. Museli bychom například nepřehledně překreslit mapy. Vidíme, že diskuse o tomto problému je příležitostí i pro připomenutí zeměpisných poznatků v matematice a fyzice. Je namístě, aby v tuto chvíli uměl učitel fyziky i učitel matematiky vysvětlit, proč je ve fyzice naopak výhodnější používat jako jednotku rovinného úhlu radián.

Hrádek nad Nisou, 15.10.2001


Příbuzné články:
EDISON ANEB VÝUKA FYZIKY, INTERNET A VÝCHOVA K TECHNICKÉMU MYŠLENÍ

Komentáře:
Přidat komentář
     (c) 1996-2008, Dr. Jiří Týř Powered by Linux